Euclides de Alexandria

Euclides de Alexandria, mestre, escritor de origem provavelmente grega, matemático da escola platônica, e conhecido como o Pai da Geometria, nasceu na Síria aproximadamente em 330 a.C. e realizou seus estudos em Atenas. Ele é até hoje, na história da Matemática, considerado como um dos mais significativos estudiosos deste campo na antiga Grécia.

Não se sabe muito sobre sua trajetória existencial, pois nunca se falou demais acerca de sua vida pessoal. Ele foi convidado a lecionar Matemática na escola instituída em Alexandria por Ptolomeu Sóter ou Ptolomeu I, que governou o Egito de 323 a.C. a 283 a.C. Nesta instituição, também conhecida como 'Museu', ele conheceu a influência ao se destacar entre os demais professores pelo método utilizado em suas aulas de Geometria e Álgebra. Sua fama indicava que ele tinha um grande potencial para explanar as disciplinas que ministrava.

O que se sabe sobre Euclides foi extraído de textos elaborados muitos séculos após sua passagem pelo Planeta, principalmente os escritos por Proclo e Pappus de Alexandria. O primeiro se refere ao matemático como o criador da clássica obra Os Elementos, anteriormente citada por Arquimedes.

A teoria aí desenvolvida é uma das mais importantes na trajetória da Matemática, o que levou este livro a ser adotado como prioridade nas aulas desta disciplina, particularmente as de geometria, desde o momento em que foi lançado até fins do século XIX ou princípio do século XX. Esta doutrina se tornou conhecida como Geometria Euclidiana; seus conceitos foram inferidos de um pequeno grupo de axiomas - proposições consideradas consensuais, sem necessidade de provas; eles são essenciais para a elaboração de um corpo teórico.

Os Elementos foram compostos como uma obra textual, dividida em treze volumes - cinco abordam a geometria plana; três enfocam os números; um destaca a teoria das proporções; um tem como núcleo central os incomensuráveis; e os três finais discorrem sobre a geometria no espaço.

A Geometria de Euclides se distingue por apresentar um espaço que não se modifica em momento algum, revela estrita simetria - se uma relação for verdadeira para a e b tomados nesta ordem, também o será para b e a tomados nesta ordem - e configuração geométrica. Esta teoria é uma representação simbólica do conhecimento clássico, o qual atravessou a Idade Média e o Renascimento bem conservado, e apenas na era moderna o modelo euclidiano foi substituído por outras geometrias.

Euclides elaborou também obras que abordam temas como perspectivas, seções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor. Sua esfera de criação é tão ampla que alguns pesquisadores chegaram a acreditar que os trabalhos a ele atribuídos não pertencessem a um único ser.

As elaborações matemáticas que foram preservadas até nossos dias foram primeiramente traduzidas para a língua árabe, posteriormente para o latim e, a partir desta base linguística, foram vertidas para outros idiomas do continente europeu. Assim como seu nascimento, sua morte também foi envolta em mistério, e suas datas só podem ser obtidas através de cálculos aproximados.

Há cerca de 2300 anos atrás, o matemático grego Euclides escreveu a obra matemática mais famosa e influente de todos os tempos: Os Elementos. Em treze livros, Euclides expõe resultados de Geometria Euclidiana, e não só, usando um sistema lógico-dedutivo constituído por postulados, noções comuns, proposições e teoremas. Um desses postulados, o 5º Postulado, conhecido como o Postulado das Paralelas, levantou desde logo alguma controvérsia devido à sua natureza mais complexa e menos intuitiva.

5º Postulado de Euclides: "Se uma linha recta, encontrando-se com outras duas rectas, fizer os ângulos internos da mesma parte menores que dois rectos, estas duas rectas, produzidas ao infinito concorrerão para a mesma parte dos ditos ângulos internos." 

Ao longo dos séculos, foram várias as tentativas de provar este postulado a partir dos restantes, ou então de o substituir por outro mais simples. Matemáticos como John Wallis (1616-1703), Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), John Playfair (1748-1819) e Legendre (1752-1833) não resolveram esta questão, mas dos seus trabalhos resultou um conjunto de proposições equivalentes ao 5º Postulado (presumindo a veracidade dos outros postulados da Geometria Euclidiana).

Um dos axiomas equivalentes ao 5º Postulado de Euclides que é usado nos livros modernos foi dado por Playfair:

Dado um ponto P que não está numa recta r, existe uma só recta no plano de P e r que contém P e que não intersecta r. 

No início do século XIX, alguns matemáticos, incluindo o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), notaram que o Postulado das Paralelas não poderia ser provado nem como verdadeiro nem como falso com base nos outros postulados da Geometria Euclidiana, ou seja, o Postulado das Paralelas seria independente dos restantes. Seria então possível desenvolver uma nova geometria a partir de um sistema axiomático que contivesse uma alternativa ao Postulado das Paralelas. Mas foram Lobatschewski (1792-1856) e János Bolyai (1802-1860) que, de forma independente, publicaram pela primeira vez os resultados de uma nova geometria não Euclidiana (Rosenfeld, 1976), conhecida actualmente por Geometria Hiperbólica.

A Geometria Hiperbólica obtém-se substituindo o Postulado das Paralelas pelo seguinte axioma:

Axioma Hiperbólico: Dada uma recta e um ponto exterior à recta, existem, pelo menos, duas rectas distintas contendo o ponto dado e paralelas à recta dada.

Os trabalhos de Lobatschewski e János Bolyai não foram devidamente reconhecidos na altura e só em 1870, cerca de quatro décadas depois das primeiras publicações, quando se tornaram conhecidas as notas e a correspondência de Gauss acerca do assunto, depois da sua morte, é que a descoberta das geometrias não Euclidianas mereceu a devida atenção.

Apesar do valor inegável dos trabalhos de Lobatschewski e János Bolyai, eles não demonstraram a consistência da Geometria Hiperbólica, ou seja, que o sistema axiomático não conduz a nenhuma contradição [5] .

A consistência das geometrias não Euclidianas prova-se com a existência de modelos, que se obtêm a partir da atribuição de interpretações aos chamados termos primitivos (pontos, rectas...) de modo a transformar os axiomas em afirmações verdadeiras à luz dessas interpretações. Por exemplo, neste trabalho é apresentado um modelo da Geometria Esférica onde os pontos são pontos da esfera e as rectas são círculos máximos.

Em 1868, Eugenio Beltrami (1835-1900) apresentou o primeiro modelo para a Geometria Hiperbólica [5]. A existência desse modelo revelou que se a Geometria Hiperbólica contém alguma contradição então essa contradição poderia ser transposta para a Geometria Euclidiana. Admitindo então que a Geometria Euclidiana é consistente, deduz-se assim que a Geometria Hiperbólica também o é.

Em 1882, Henri Poincaré (1854-1912) apresentou um segundo modelo da Geometria Hiperbólica: o modelo de Poincaré num semi-plano.

Outra possibilidade é substituir o Postulado das Paralelas pelo seguinte axioma:

Axioma Elíptico: Dada uma recta e um ponto exterior à recta, não existe nenhuma recta contendo o ponto dado e paralela à recta dada.

Bernhard Riemann (1826-1866) foi o primeiro a reconhecer a Geometria Esférica como um tipo de geometria não Euclidiana onde não existem rectas paralelas. Contudo, ao contrário do que acontece na Geometria Hiperbólica e na Geometria Euclidiana, na Geometria Esférica duas rectas (dois círculos máximos) distintas não se intersectam em apenas um ponto mas sim em dois pontos antípodas, não se verificando portanto o primeiro postulado de Euclides que implica que dois pontos definem uma única recta. Em 1871, o matemático alemão Felix Klein (1849-1925) resolveu esta questão propondo uma modificação da Geometria Esférica: a identificação de pontos antípodas, ou seja, um ponto é um par de pontos antípodas na esfera e uma recta é um círculo máximo com todos os pares de pontos antípodas identificados (ou um semi-círculo máximo com os seus extremos identificados). A esta nova geometria Klein chamou Geometria Elíptica.

A descoberta das geometrias não Euclidianas teve consequências muito importantes, quer matemáticas quer filosóficas, principalmente no que diz respeito aos fundamentos da matemática. A partir dessa altura, surgiram vários sistemas axiomáticos, sendo o mais famoso o de David Hilbert (1862-1943), Fundamentos da Geometria, cuja estrutura tem marcadamente a influência de Euclides. Hilbert denomina por Geometria Absoluta (tal como János Bolyai) ou Neutra a geometria que é comum às Geometrias Hiperbólica e Euclidiana. De facto, existem diferenças substanciais entre estas geometrias e a Elíptica. Por exemplo, em Geometria Neutra a existência de rectas paralelas é um teorema, o que não é válido em Geometria Elíptica. 

Fonte: wikipedia