Blaise Pascal

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, 19 de junho de 1623 - Paris, 19 de agosto de 1662) foi um matemático, físico, inventor, filósofo e teólogo católico francês. Prodígio, Pascal foi educado por seu pai. Os primeiros trabalhos de Pascal dizem respeito às ciências naturais e ciências aplicadas. Contribuiu significativamente para o estudo dos fluidos. Ele esclareceu os conceitos de pressão e vazio, estendendo o trabalho de Torricelli. Pascal escreveu textos importantes sobre o método científico.

Aos 19 anos inventou a primeira máquina de calcular, chamada de máquina de aritmética, depois roda de pascalina e finalmente pascalina. Construiu cerca de vinte cópias na década seguinte. Matemático de primeira linha, criou dois novos campos de pesquisa: primeiro, publicou um tratado de geometria projetiva aos dezesseis anos; então, em 1654, ele desenvolveu um método de resolver o "problema dos partidos", que, dando origem, no decorrer do século XVIII, ao cálculo das probabilidades, influenciou fortemente as teorias económicas modernas e as ciências sociais.

Depois de uma experiência mística que experimentou em novembro de 1654, dedicou-se à reflexão filosófica e religiosa, sem renunciar ao trabalho científico. Escreveu durante este período The Provincials and Thoughts, publicado somente após a sua morte, que ocorreu dois meses após o seu 39º aniversário, quando já se encontrava muito doente (sujeito a enxaquecas violentas em particular).

Antes de passar definitivamente para o conteúdo de probabilidades, que é o seguimento da análise combinatória nos conteúdos programáticos do ensino médio, vamos tratar de um tema muito interessante, o Triângulo Aritmético. Sempre que é possível, eu gosto de começar um conteúdo novo com uma história relacionada ao tema em questão. Na verdade, o que pretendo apresentar neste artigo, é muito mais do que uma simples história, é uma verdadeira "Epopéia Matemática", que se desenrolou por pelo menos 2500 anos em vários cenários diferentes.

Para os apaixonados pela matemática, e até para quem não vê a matemática com bons olhos é um prato cheio, pois esta história é ligada a temas muito interessantes, que certamente irão envolvê-lo. Então vamos começar nossa epopéia com uma pergunta bem simples e direta.

Você conhece bem o Triângulo Aritmético? Talvez você não conheça nenhum triângulo com este nome, mas em compensação, já tenha trabalhado com o "Triângulo de Pascal", ou talvez conheça um pouco do "Triângulo Combinatório", do "Triângulo de Tartaglia" ou até mesmo do "Triângulo de Yang-Hui". Ficou confuso? Na verdade, todos estes nomes citados anteriormente, se referem ao mesmo triângulo, estudado e aperfeiçoado através dos séculos, por vários matemáticos, ou melhor, foram estudadas as mesmas propriedades matemáticas, variando de acordo com o matemático, origem e época.

Veja que, além das obras atuais, existem referências ao Triângulo Aritmético e suas propriedades, que podem ser encontradas rudimentarmente em obras antigas escritas por matemáticos indianos e chineses. Também encontramos alguns indícios superficiais destas propriedades em algumas obras hebraicas, escritas em épocas anteriores a Jesus Cristo. Esta constatação significa que nosso personagem principal é bastante antigo. Podemos citar entre estas obras, a dePingala (piṅgalá), um antigo matemático indiano, famoso por um dos seus trabalhos, o Chandas shastra (chandaḥ-śāstra, ou Chandas sutra chandaḥ-sūtra), provavelmente, um tratado sânscrito sobre prosódia, (do grego προσωδία), que é considerado parte do Vedanga, ou seja, os "órgãos dos Vedas".

Pingala viveu em aproximadamente 200 aC., ou seja, mais ou menos 1800 anos antes do matemático Blaise Pascal. (Clermont-Ferrand, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662). Observe que este é um dos primeiros indícios de que não foi Blaise Pascal o autor do triângulo que leva seu nome. Já vimos que o triângulo aritmético é bastante antigo, e você também verá que podemos considerar o triângulo estudado por Pingala praticamente o mesmo encontrado nos livros didáticos atuais do Brasil, ou seja, é idêntico ao Triângulo de Pascal.

Aliás, sabemos que tudo que está relacionado à matemática exige muito estudo, e um processo cansativo de investigação que pode levar séculos. Este processo envolve não um, mas vários matemáticos, tornando desta forma, o trabalho dos historiadores uma tarefa difícil, cansativa, mas ao mesmo tempo bastante recompensadora, principalmente quando se trata de especificar a verdadeira autoria de uma grande descoberta matemática, como é o caso do nosso principal personagem, o Triângulo Aritmético.

No entanto, veremos posteriormente que Pingala também não foi o primeiro a estudar as propriedades relacionadas ao Triângulo Aritmético, pois mesmo antes dele, já existiam antigas obras com algumas regras (Sutras) para o cálculo de combinatória e arranjos.

Pingala apresenta em sua obra, a primeira descrição conhecida de um sistema numérico binário. O envolvimento de Pingala com o triângulo aritmético foi conseqüência dos seus estudos sobre as versificação das métricas musicais. Na verdade, ele observou que as expansões sucessivas das métricas musicais, de uma, duas, três, ou várias sílabas podiam ser dispostas sob a forma de um padrão numérico triangular que corresponde ao triângulo aritmético, o qual denominouMeru-prastara, em homenagem ao sagrado Monte Meru na Índia.

Para ficar mais claro a passagem anterior, observemos um exemplo numérico:

Para calcular as combinações das três sílabas ba, be, bi, Pingala observava a quarta linha do Meru-prastara que é composta pelos seguintes valores:
1 3 3 1, e então concluía:

3 combinações de uma sílaba:

3 combinações de duas sílabas:

1 combinação de três sílabas:

Para construir o Meru-prastara, Pingala descreve a seguinte regra:

"Desenhe um quadrado; abaixo dele desenho dois outros, de modo que se juntem no ponto médio da base dele; ou seja, no meio da base, abaixo desses dois, desenhe três e assim sucessivamente. A seguir, escreva "um" no primeiro quadrado e também nos quadrados da segunda linha. Na terceira linha escreva "um" nos quadrados dos extremos, e no meio escreva a soma dos números acima dele.

Prossiga fazendo o mesmo nas outras linhas. Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante."

O procedimento desta regra pode ser visto na imagem abaixo:

Já sabemos que existem diversas formas de representar o Triângulo Aritmético, mas uma das que acho mais produtiva, é quando os valores são deslocados para o lado, ficando na forma de um Triângulo Retângulo.

Através desta representação as sequências dos números naturais,triangulares, etc., são mais visíveis.

Desta forma podemos visualizar a sequência dos números naturais na segunda coluna, triangulares na terceira, e assim por diante.

Figura 2: Detalhes do Triângulo AritméticoNa imagem abaixo você pode observar as sequências dos números naturais, triangulares, e outras:

Figura 3: Triângulo destacando os números de Fibonacci.

Veja também, que podemos encontrar os números de Fibonacci no Triângulo Aritmético.

Observe as diagonais do triângulo acima onde encontramos os seguintes valores:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...}.

Não serão tratados detalhes sobre os números de Fibonacci, mas caso você fique interessado pelo tema, acesse o endereço Números de Fibonacci

É fácil ver que as somas das diagonais realmente são os números de Fibonacci.

Figura 4:Triângulo destacando as somas das sequências.

Na diagonal verde a soma é 5;
Na diagonal azul a soma é 8;
Na diagonal vermelha a soma é 13.

Séculos depois da morte do matemático Pingala, encontramos nainda na obra "Mṛtasañjīvanī" do matemático Halayudha, o Meru-prastara e a regra de Pingala. Ele ainda descreveu o sistema numérico binário em conexão à listagem das métricas védicas com sílabas longas e curtas.

O Meru-prastara pode ser considerado como sendo o mesmo que aMatriz Triangular conhecida na Europa como Triângulo de Pascal. Este triângulo apareceu pela vez na Europa no título da página da obra "média aritmética" do humanista e matemático Petrus Apianus, e posteriormente, nas obras de Michael Stifel, também na obra "De Numeris et Diversis Rationibus" (1545) de Johann Scheubel (1494-1570), Tartaglia , BNombelli e outros matemáticos célebres da Renascença, e na obra póstuma de Blaise Pascal "Traite Dv Triangle Arithmetiqve" de 1654. (veremos mais detalhes posteriormente).

Obra de Blaise Pascal:Tratado do Triângulo Aritmético

Figura 5 :" Traite Dv Triangle Arithmetiqve" ,Blaise Pascal.

Para baixar a obra completa de Blaise Pascal:"Traite Dv Triangle Arithmetiqve" . Faça download do arquivo no seguinte endereço:

Tratado do triângulo Aritmético

A investigação de Pingala a respeito das combinações das métricas corresponde ao Teorema Binomial. Também é importante citar uma passagem que se refere ao número de combinações de letras, encontrada no primeiro livro cabalístico que se tem notícia, o "Sefer Yetzirá", escrito por Abrahão (ou Abraão), após receber os conhecimentos da tradição cabalística diretamente de Melquisedeque.

A passagem diz o seguinte:

"Aleph com todas e todas com Aleph.

Beth com todas e todas com Beth.

Repetem-se num circulo e existem em 231 portas."

O significado é o seguinte: O alfabeto hebraico é constituído por 22 letras, sendo a primeira, Aleph, e a última Beth, e está se tentando determinar quantos grupos de duas letras podem ser formados com elas. Este número é 231. Genericamente podemos enunciar este problema como uma combinação simples, tema este que já foi abordado aqui no blog "Matemática Na Veia".

O alfabeto hebraico:

Figura 6: ALEPH BEIT IVRI. Alfabeto Hebreu primitivo com as 22 letras da Cabala.

Observação: No hebraico as letras também são números, isto significa que o estudo da Cabala também requer estudos de alta matemática.

No idioma hebraico há três letras-mães, que são Aleph, Mem e Schin. Há sete letras duplas, que são Beth, Ghimel, Daleth, Chaph, Phe, Resch e Thau. E há doze letras simples ou elementares , que são He, Vo, Zain, Cheath, Teth, Iod, Lamed, Nun, Samech, Ayin, Tsade e Cuph.

O "Sefer Yetzirá" é altamente profundo e, apesar de ser relativamente pequeno, (aproximadamente duas páginas) foi comentado pelo Rabi Shimon Bar Yoshay (possivelmente no século I d.C.), comentários que deram origem ao livro cabalístico mais festejado de todos os tempos, o Sefer Zohar (Livro do Esplendor), o qual contém 24 volumes com aproximadamente 300 páginas cada.

Além destas obras, também encontramos literatura importante sobre o Triângulo Aritmético nas obras chinesas. Bom! Por enquanto vamos ficar por aqui, mas na segunda parte desta história veremos algumas obras importantes dos matemáticos da China e outros paises, que também contribuiram para o desenvolvimento do Triângulo Aritmético.